第 9 章　極限直觀與符號操作¶

本章將介紹極限的概念、數值觀察、圖形判斷，以及 wxMaxima 的 limit 指令。

高中數學的微積分強調「直觀理解」而非純符號推導，因此本章以視覺與數值為主，搭配 CAS 檢查極限。

9.1 極限的基本概念¶

極限表示「當 x 趨近某個值時，函數值的趨近行為」。

例：

$$ \lim_{x\rightarrow 2}{x^2-1} $$

意義是「看 x 靠近 2 時，$x^2 - 1$ 靠近什麼數」。

9.2 用 CAS 做數值觀察（極限前的直覺）¶

極限的直覺可用數列表觀察。

▶ 範例：¶

觀察 $$\lim_{x\rightarrow 2} (x^2 - 1)$$

In [1]:
makelist(x^2 - 1, x, 1.5, 2.5, 0.1);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left[ 1.25 , 1.5600000000000005 , 1.8900000000000006 , 2.240000000000001 , 2.610000000000001 , 3.0000000000000018 , 3.410000000000002 , 3.8400000000000025 , 4.290000000000004 , 4.760000000000004 , 5.250000000000004 \right] \]

此輸出顯示 x 靠近 2 時，值靠近 3。

9.3 使用 $\texttt{limit}$ 求極限¶

wxMaxima 中：

limit(表達式, 變數, 逼近值);

▶ 範例¶

In [2]:
limit(x^2 - 1, x, 2);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}3\]

9.4 單側極限：左極限與右極限¶

語法：

limit(f(x), x, a, minus);   /* x → a^- */
limit(f(x), x, a, plus);    /* x → a^+ */

▶ 範例：¶

$$ \lim_{x\rightarrow 0^-} \frac{|x|}{x} $$

In [3]:
limit(abs(x)/x, x, 0, minus);
limit(abs(x)/x, x, 0, plus);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}-1\]
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}1\]
  • 因為左極限和右極限不相同，故極限不存在。

9.5 基本極限型態¶

高中數學重點型態如下：

  • 常數極限：$$ \lim_{x\rightarrow a} c = c $$

  • 代入可得極限：連續函數

  • 形式：$0/0$、$\infty / \infty$（進階）

  • 根號型極限

  • 三角函數基本極限：

$$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

指令：

In [4]:
limit(sin(x)/x, x, 0);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}1\]

9.6 不定型極限：0/0 的處理¶

CAS 能自動化簡代數式再取極限。

▶ 範例：¶

$$ \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} $$

In [5]:
limit((x^2 - 4)/(x - 2), x, 2);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}4\]

同時也可先簡化：

In [6]:
ratsimp((x^2 - 4)/(x - 2));
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}x+2\]

9.7 無窮極限與漸近線¶

▶ 無窮極限¶

例：

$$ \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 2} $$

In [7]:
limit((3*x^2 + 1)/(x^2 - 2), x, inf);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}3\]

▶ 漸近線¶

若：

$$ \lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = L $$

則 $y = L$ 為水平漸近線。

CAS 可快速判斷此性質。

9.8 透過圖形理解極限¶

繪圖可以直觀判斷極限。

▶ 範例¶

In [11]:
plot2d((3*x^2 + 1)/(x^2 + 2), [x, -50, 50], [y,0,4])$
No description has been provided for this image

圖形顯示：當 $x$ 向正方向或負方向越來越大時， $f(x)$ 趨近於漸近線 $y = 3$ 。

9.9 練習題¶

  1. 求下列極限：
    • $$ \lim_{x\rightarrow 3} (x^2 - 2x) $$
    • $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(3x)}{x} $$
    • $$ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{5x + 1}{2x - 3} $$
  2. 判斷極限是否存在：
    • 在 $x \to 0$ 時，
    • $$\frac{|x|}{x} $$
    • 在 $x \to \frac{\pi}{2}$ 時， $$ \tan x $$
  3. 用 ratsimp 化簡後再取極限：
    • $$ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} $$
  4. 繪製下列函數並觀察極限：
    • $$ \frac{x^2 - 9}{x - 3} $$
    • $e^{-x}$ 在 $x \to \infty$ 的行為

9.10 本章小結¶

本章你學會：

  • 用清單觀察數值極限

  • 使用 limit 求極限與單側極限

  • 處理常見極限型態（0/0、$\infty$ 比較）

  • 用 ratsimp 化簡困難的極限

  • 用圖形理解極限與漸近線

  • 透過 CAS 檢查手算是否正確

下一章將介紹正式的微分操作：導數、微分法則與切線問題。

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