第 8 章　反函數與複合函數¶

本章介紹反函數、單調性判斷、水平線測試、反函數求法，以及複合函數的概念與在 wxMaxima 中的實作。

高中數學強調「函數之間的關係」與「操作與圖形的連結」，本章正好是銜接的核心。

8.1 反函數的概念¶

如果一個函數 $f$ 將 $x$ 對應到 $y$：

$$ y = f(x) $$

那反函數 $f^{-1}$ 則反過來：

$$ x = f^{-1}(y) $$

要有反函數，函數必須是可逆的，也就是通過「水平線測試」：

  • 任意水平線與圖形最多交於一點 → 可逆

  • 否則不可逆

8.2 使用 CAS 求反函數¶

反函數的求法就是「把 x 與 y 交換，再解 x」。

在 wxMaxima：

solve(y = f(x), x);

▶ 範例：求二次函數的反函數（限制定義域）¶

$$ f(x) = x^2,\quad x \ge 0 $$

In [1]:
solve(y = x^2, x);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left[ x=-\sqrt{y} , x=\sqrt{y} \right] \]

但是因為有限制 $x \ge 0$，所以只取：

$$ x = \sqrt{y} $$

若要寫成反函數：

$$ f^{-1}(x) = \sqrt{x} $$

（反函數存在的理由是限制在 $x \ge 0$ 的區間。）

8.3 線性函數的反函數¶

若：

$$ f(x) = ax + b,\quad a \neq 0 $$

反函數為：

$$ f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a} $$

CAS 驗算：

In [2]:
solve(y = a*x + b, x);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\left[ x=\frac{y-b}{a} \right] \]

8.4 常見反函數的例子：指數與對數函數¶

指數與對數天然互為反函數：

$$ f(x) = e^x,\quad f^{-1}(x) = \ln(x) $$

驗算：

In [3]:
solve(y = exp(x), x);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ x=\log y \right] \]

8.5 利用圖形理解反函數：$y=x$ 對稱¶

反函數圖形會以直線 $y = x$ 對稱。

▶ 範例：繪製 $f$ 與 $f^{-1}$¶

In [11]:
plot2d([exp(x), log(x), x], [x,0.01,10], [y,-10,10],
     [gnuplot_postamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$

plot2d: some values will be clipped.
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你會看到以 $y = x$ 為對稱軸的兩條對稱的曲線。

8.6 複合函數 $f \circ g$¶

複合函數定義：

$$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$

在 wxMaxima：

h(x) := f(g(x));

▶ 範例¶

$$ f(x) = x^2,\quad g(x) = x + 1 $$

In [12]:
f(x) := x^2;
g(x) := x + 1;
h(x) := f(g(x));
h(x);
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}f\left(x\right):=x^2\]
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}g\left(x\right):=x+1\]
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}h\left(x\right):=f\left(g\left(x\right)\right)\]
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\left(x+1\right)^2\]

8.7 複合函數的圖形觀察¶

疊圖能清楚看出複合函數的效果。

In [14]:
plot2d([f(x), g(x), h(x)], [x,-5,5], [y,-5,5],
     [gnuplot_postamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$

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能觀察到：

  • 套入 g(x) 先將 x → x + 1 平移

  • 再套入 f(x) 做平方

8.8 反函數與複合函數的關係¶

若 $f$ 可逆：

$$ f(f^{-1}(x)) = x $$ $$ f^{-1}(f(x)) = x $$

CAS 驗證：

自訂 f(x) 和 finv(x):

In [15]:
f(x)  := x^2;
finv(x) := sqrt(x);
    ratsimp(f(finv(x)));
    ratsimp(finv(f(x)));
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}f\left(x\right):=x^2\]
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{21}$}{\it finv}\left(x\right):=\sqrt{x}\]
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{22}$}x\]
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{23}$}\left| x\right| \]

8.9 練習題¶

  1. 求下列函數的反函數：

    • $f(x) = 3x - 5$

    • $g(x) = \frac{1}{x}$（注意不可逆區域）

  2. 判斷下列函數是否有反函數（用水平線測試 + 圖形）：

    • $x^2$

    • $x^3$

    • $|x|$

  3. 令 $f(x) = \sqrt{x}$，求：

    • $f(g(x))$

    • $g(f(x))$

    若 $g(x) = x + 4$

  4. 使用 CAS 疊圖比較：

    • $y = 2^x$

    • $y = \log\_2(x)$

  5. 綜合應用：

    若 $f(x) = 2x + 1$，求 $ (f^{-1} \circ f)(x),\quad (f \circ f^{-1})(x) $

8.10 本章小結¶

本章你學會：

  • 反函數的概念與水平線測試

  • 使用 solve 求反函數

  • 透過圖形看反函數的對稱性

  • 定義並計算複合函數

  • 驗證反函數與原函數的關係

  • 用 CAS 協助理解更抽象的函數操作

下一章將正式進入微積分的世界：極限與導數。

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