第 7 章　函數的平移、伸縮與變化¶

本章介紹如何利用 wxMaxima 觀察與理解函數的各種變換，包括水平與垂直平移、伸縮、反射與疊圖比較。

這些內容是高中數學中函數圖形的重要核心能力，亦是學生視覺化理解函數的最佳機會。

7.1 函數的垂直平移：$f(x) + k$¶

垂直平移代表整個圖形向上或向下移動 k 單位。

  • 向上平移：$f(x) + k$
  • 向下平移：$f(x) - k$

▶ 範例：向上平移 3¶

In [6]:
f(x) := x^2;
plot2d([f(x), f(x) + 3], [x, -5, 5])$
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}f\left(x\right):=x^2\]
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圖形會呈現兩個拋物線，一個在上方，一個在下方。

7.2 函數的水平平移：$f(x - h)$¶

水平平移是將圖形向左或向右移動 h 單位。

  • 向右平移 h：$f(x - h)$
  • 向左平移 h：$f(x + h)$

▶ 範例：$f(x-2)$代表向右平移 2¶

In [8]:
f(x) := x^2;
plot2d([f(x), f(x - 2)], [x, -2, 6])$
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}f\left(x\right):=x^2\]
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▶ 範例：$f(x+3)$代表向左平移 3¶

In [12]:
f(x) := x^2;
plot2d([f(x), f(x + 3)], [x, -10, 10])$
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{26}$}f\left(x\right):=x^2\]
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7.3 函數的垂直伸縮：$a·f(x)$¶

  • 若 $a > 1$：圖形變「瘦高」

  • 若 $0 < a < 1$：圖形變「扁寬」

▶ 範例：垂直伸縮¶

In [15]:
f(x) := x^2;
plot2d([f(x), 2*f(x), 0.5*f(x)], [x, -5, 5])$
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{32}$}f\left(x\right):=x^2\]
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7.4 函數的水平伸縮：$f(bx)$¶

  • 若 $b > 1$：圖形被「水平壓縮」

  • 若 $0 < b < 1$：圖形被「水平拉伸」

▶ 範例：水平伸縮¶

In [18]:
f(x) := x^2;
plot2d([f(x), f(2*x), f(0.5*x)], [x, -5, 5])$
Out[18]:
\[\tag{${\it \%o}_{38}$}f\left(x\right):=x^2\]
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7.5 反射（對稱）：$-f(x)$ 與 $f(-x)$¶

  • 上下反射：$-f(x)$

  • 左右反射：$f(-x)$

▶ 上下反射¶

In [20]:
f(x) := x^3 + 3*x^2 - x + 1;
plot2d([f(x), -f(x)], [x, -4, 4])$
Out[20]:
\[\tag{${\it \%o}_{42}$}f\left(x\right):=x^3+3\,x^2-x+1\]
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▶ 左右反射¶

In [23]:
f(x) := x^3 + 3*x^2 - x + 1;
plot2d([f(x), f(-x)], [x, -4, 4])$
Out[23]:
\[\tag{${\it \%o}_{48}$}f\left(x\right):=x^3+3\,x^2-x+1\]
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7.6 複合變換的觀察（綜合應用）¶

變換可組合使用，例如：

$$ y = -2f(x - 1) + 3 $$

代表：

  1. 向右移 1

  2. 垂直伸縮 2 倍

  3. 上下反射

  4. 向上移 3

▶ CAS 示範¶

In [25]:
f(x) := x^2;
g(x) := -2*f(x - 1) + 3;
plot2d([f(x), g(x)], [x, -10, 10], [y, -250, 250])$
Out[25]:
\[\tag{${\it \%o}_{53}$}f\left(x\right):=x^2\]
Out[25]:
\[\tag{${\it \%o}_{54}$}g\left(x\right):=-\left(2\,f\left(x-1\right)\right)+3\]
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7.7 練習題¶

  1. 設 $f(x) = x^2$，繪製：
  • $f(x + 2)$
  • $f(x) - 3$
  • $-f(x)$
  1. 觀察一次函數變化

令 $g(x) = 2x - 1$，繪製：

  • $ g(x - 1) $
  • $ 3g(x) $
  • $-g(x) + 2$
  1. 對下列函數作平移：
  • $h(x) = \sqrt{x}$，向右平移 4
  • $h(x) = \sqrt{x}$，向上平移 2
  1. 使用 CAS 比較下列函數的差異：
  • $y = e^x$
  • $y = e^{x-2}$
  • $y = 3e^x$
  1. 綜合練習：

令 $f(x) = |x|$，繪製下列函數並比較：

  • $f(x+1)$
  • $-2f(x)$
  • $f(x/2) - 1$

7.8 本章小結¶

本章你已學會：

  • 函數的水平、垂直平移

  • 垂直、水平伸縮

  • 上下與左右反射

  • 使用 CAS 的疊圖觀察變化

  • 避免學生常見的函數變換誤解

下一章將介紹反函數與複合函數，深入探討函數之間的關係與變換。

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