第 5 章　數列與遞迴關係¶

本章介紹如何使用 wxMaxima 處理高中數學中的數列、等差級數、等比級數、遞迴數列與求和運算。

CAS 在數列主題中特別好用，因為它能快速計算大量項目、檢查規律，並協助學生建立數列直觀。

5.1 定義數列與取項：makelist¶

wxMaxima 中沒有專門的「數列物件」，但可以使用 list（列表） 表示有限數列。

生成前 n 項可用：

makelist(表達式, 變數, 起始, 終止);

▶ 範例：生成數列的前 10 項¶

定義數列

$$ a_n = n^2 $$

In [1]:
makelist(n^2, n, 1, 10);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left[ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 \right] \]

輸出：

[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100]

5.2 等差數列與等差級數¶

等差數列定義為：

$$ a_n = a_1 + (n-1)d $$

▶ 生成範例¶

In [2]:
a1: 3;
d: 2;
makelist(a1 + (n-1)*d, n, 1, 10);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}3\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}2\]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , 21 \right] \]

▶ 等差級數求和¶

等差級數公式：

$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$

CAS 可直接使用 sum：

In [3]:
sum(3 + (n-1)*2, n, 1, 10);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}120\]

5.3 等比數列與等比級數¶

等比數列：

$$ a_n = a_1 r^{n-1} $$

▶ 生成前數項¶

In [4]:
a1: 2;
r: 3;
makelist(a1*r^(n-1), n, 1, 8);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}2\]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}3\]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\left[ 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 , 1458 , 4374 \right] \]

▶ 等比級數求和¶

等比級數公式：

$$ S_n = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} $$

CAS 也能自動求和：

In [5]:
sum(2*3^(n-1), n, 1, 8);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}6560\]

5.4 遞迴數列：定義與生成¶

數列也可用遞迴定義：

$$ a_1 = 1,\quad a_{n+1} = 2a_n + 1 $$

Maxima 沒有遞迴數列內建函數，但我們可以使用程式語法生成遞迴：

▶ 使用 for 生成遞迴數列¶

In [6]:
a[1] : 1$
for n:1 thru 10 do a[n+1] : 2*a[n] + 1$
makelist(a[n], n, 1, 11);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\left[ 1 , 3 , 7 , 15 , 31 , 63 , 127 , 255 , 511 , 1023 , 2047 \right] \]

在 wxMaxima 指令行尾若是用 $，代表不要顯示這行指令的結果。

5.5 使用 CAS 觀察數列行為：極限與趨勢¶

對數列

$$ a_n = \frac{n}{n+1} $$ 求 n 趨近無限大時的極限：

In [7]:
limit(n/(n+1), n, infinity);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}1\]

▶ 數值觀察¶

In [8]:
makelist(n/(n+1), n, 1, 10);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\left[ \frac{1}{2} , \frac{2}{3} , \frac{3}{4} , \frac{4}{5} , \frac{5}{6} , \frac{6}{7} , \frac{7}{8} , \frac{8}{9} , \frac{9}{10} , \frac{10}{11} \right] \]

可從結果看到其逐漸趨近 1。

5.6 求和：sum 指令¶

CAS 的 sum 可以處理：

  • 等差級數

  • 等比級數

  • 多項式求和

  • 分數求和

  • 某些閉式可求的無窮級數

▶ 多項式求和¶

求：

$$ \sum_{n=1}^{20} n^2 $$

In [9]:
sum(n^2, n, 1, 20);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}2870\]

5.7 無窮數列與無窮級數¶

求無窮幾何級數：

$$ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $$

條件：公比 $|r| < 1$

在 wxMaxima：

assume(abs(r) < 1)$
sum(a*r^n, n, 0, inf), simpsum=true;

上面加上 simpsum=true 是為了要簡化輸出，結果：

$$ {{a}\over{1-r}} $$

即得到，當公比的絕對值小於 1 時，無窮等比級數的和。

5.8 練習題¶

請使用 wxMaxima 完成：

  1. 生成數列 $a\_n = 2n + 1$ 的前 15 項。

  2. 求等差數列（首項 5、公差 3）前 20 項和。

  3. 求等比數列（首項 4、公比 2）第 10 項。

  4. 使用遞迴式，生成數列的前 10 項。 $$ a_1 = 2,\quad a_{n+1} = 3a_n - 1 $$

  5. 求和：

$$ \sum_{n=1}^{50} (3n - 1) $$

5.9 本章小結¶

你已經學會：

  • 使用 makelist 生成數列

  • 使用 sum 求級數

  • 等差與等比數列的 CAS 操作

  • 使用 for 定義遞迴數列

  • 用 CAS 數值觀察數列的趨勢與極限

下一章將進入函數與圖形的世界，學習如何用 wxMaxima 進行繪圖與函數分析。

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