第 4 章　不等式與絕對值¶

本章介紹如何使用 wxMaxima 處理一元不等式、不等式組、絕對值不等式與區間表示法。

不等式是高中數學常見題型，而 CAS 尤其擅長在複雜的不等式推導中協助檢查與驗證。

4.1 一元一次不等式¶

一元一次不等式的形式為：

$$ ax + b > 0,\quad ax + b < 0 $$

單變數的多項式和有理不等式，可以使用 solve_rat_ineq 來解，初次使用需先載入：

In [2]:
load(solve_rat_ineq);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\mbox{ /home/hcp2/maxima/share/maxima/5.47.0/share/solve\_rat\_ineq/solve\_rat\_ineq.mac }\]

▶ 範例：解不等式¶

$$ 3x - 5 > 7 $$

In [3]:
solve_rat_ineq(3*x - 5 > 7);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ \left[ x>4 \right] \right] \]

4.2 一元二次不等式¶

高中常見型態：

$$ ax^2 + bx + c > 0 $$

解法通常需先找根，再判斷圖形開口方向。

CAS 可直接求解：

▶ 範例¶

解：

$$ x^2 - 5x + 6 < 0 $$

In [4]:
solve_rat_ineq(x^2 - 5*x + 6 < 0);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ \left[ x>2 , x<3 \right] \right] \]

4.3 有理不等式¶

有理不等式，即分式形式的不等式。

▶ 範例¶

$$ {{2\,x-1}\over{x+4}} \le {3} $$

In [5]:
solve_rat_ineq((2*x - 1)/(x + 4) <= 3);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ \left[ x\leq -13 \right] , \left[ x>-4 \right] \right] \]

▶ 範例¶

解：

$$ {{1}\over{x+3}}+{{x+2}\over{x-1}} > 0 $$

In [6]:
solve_rat_ineq((x+2)/(x-1) + 1/(x+3) > 0);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ \left[ x<-5 \right] , \left[ x>-3 , x<-1 \right] , \left[ x>1 \right] \right] \]

4.4 不等式組¶

單變數或多變數的線性不等式組，可以用 fourier_elim 這個指令來解。初次使用需載入套件：

In [7]:
load(fourier_elim);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\mbox{ /home/hcp2/maxima/share/maxima/5.47.0/share/fourier\_elim/fourier\_elim.lisp }\]

▶ 範例¶

解：

$$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x - 5 < 3 \end{cases} $$

In [8]:
fourier_elim([x + 1 > 0, 2*x - 5 < 3], [x]);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\left[ -1<x , x<4 \right] \]

▶ 範例¶

fourier_elim 也可以解 2 個變數的線性不等式組：

$$ \begin{cases} x + y > 0 \\ 2x - y < 3 \end{cases} $$

In [9]:
fourier_elim([x + y > 0, 2*x - y < 3], [x, y]);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\left[ -y<x , x<\frac{y}{2}+\frac{3}{2} , -1<y \right] \]

從圖形上來看，由於這兩條直線的交點是 (1, -1)，滿足不等式組的區域就會是這 2 條線圍成的上方區域。

In [17]:
plot2d([-x, 2*x -3], [x,-5,5])$
No description has been provided for this image

▶ 範例¶

這裡考慮另一個例子，把上面的例子改成“大於等於”。

$$ \begin{cases} x + y \ge 0 \\ 2x - y < 3 \end{cases} $$

In [11]:
fourier_elim([x + y >= 0, 2*x - y < 3], [x, y]);
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\left[ x=-y , -1<y \right] \lor \left[ -y<x , x<\frac{y}{2}+\frac{3}{2} , -1<y \right] \]

結果就會包含一部份直線本身，和 2 條線圍成的上方區域。

4.5 絕對值不等式：$|x| < a$¶

絕對值不等式是高中常見題型，CAS 可直接求解。

▶ 型態一：$|x| < a$¶

$$ |x| < 3 $$

在 wxMaxima：

In [12]:
fourier_elim([abs(x) < 3], [x]);
Out[12]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\left[ -3<x , x<3 \right] \]

▶ 型態二：$|x - a| > b$¶

例：

$$ |x - 2| > 5 $$

In [13]:
fourier_elim([abs(x - 2) >  5], [x]);
Out[13]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}\left[ x<-3 \right] \lor \left[ 7<x \right] \]

4.6 以圖形輔助理解不等式¶

wxMaxima 能用 plot2d 或 wxplot2d 繪製函數圖形，以視覺方式理解不等式的解集。

▶ 範例：判斷 $x^2 - 4 < 0$¶

  1. 先繪圖：
In [19]:
plot2d(x^2 - 4, [x, -5, 5])$
No description has been provided for this image
  1. 觀察圖形在 x 軸下方的區域：

開口向上的拋物線在 -2 與 2 之間小於 0。

解：

$$ -2 < x < 2 $$

In [15]:
solve_rat_ineq(x^2 - 4 < 0);
Out[15]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}\left[ \left[ x>-2 , x<2 \right] \right] \]

4.8 練習題¶

請使用 wxMaxima 解下列不等式：

  1. $5 - 2x < 11$
  2. $x^2 - 9 \ge 0$
  3. $|x + 1| \le 4$
  4. 解下列不等式組：

$$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 5 < 10 \end{cases} $$

  1. 先畫圖，再解：

$$ x^2 + x - 6 < 0 $$

4.8 本章小結¶

本章你學會：

  • 解一元一次與一元二次不等式

  • 解有理不等式

  • 解不等式組

  • 解絕對值不等式 $|x| < a$、$|x - a| > b$

  • 使用 wxplot2d 觀察不等式的圖形判斷

  • 使用 CAS 檢查手算不等式推理

下一章將開始數列、級數與遞迴的世界，並學習如何用 CAS 生成數列與求和。

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