第 2 章　式子變形與因式分解¶

本章將介紹代數式的展開、化簡、因式分解與分式處理。

這些操作在高中數學中非常常見，而 wxMaxima 提供快速又可靠的工具，幫助你檢查手算結果或進行複雜計算。

2.1 多項式展開：expand¶

展開多項式是最基本的代數技巧，wxMaxima 使用 expand 指令完成。

▶ 範例 1：二項式展開¶

In [1]:
expand((x + 3)*(x - 5));
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}x^2-2\,x-15\]

▶ 範例 2：三次方展開¶

In [2]:
expand((x - 2)^3);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}x^3-6\,x^2+12\,x-8\]
In [3]:
ratsimp(3*x + 2*x - x + 5);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}4\,x+5\]

2.3 因式分解：factor¶

因式分解是高中最常見的 CAS 操作之一。

Maxima 的 factor 指令可以將式子自動化簡成乘法形式。

▶ 範例 1：基本因式分解¶

In [4]:
factor(x^2 - 5*x + 6);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\]

▶ 範例 2：高次多項式¶

In [5]:
factor(x^4 - 1);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left(x-1\right)\,\left(x+1\right)\,\left(x^2+1\right)\]

2.4 分式化簡：ratsimp¶

分式化簡是 ratsimp 的強項。

▶ 基本範例¶

In [6]:
ratsimp((x^2 - 4) / (x - 2));
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}x+2\]

Maxima 會先因式分解，再約分。

▶ 多項式分式¶

In [7]:
ratsimp((x^3 - 1)/(x - 1));
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}x^2+x+1\]
In [8]:
partfrac((3*x + 5)/(x^2 - x), x);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\frac{8}{x-1}-\frac{5}{x}\]

2.6 結合展開與因式分解的應用¶

高中常見型態如：

  • 完全平方公式

  • 平方差公式

  • 特殊多項式公式

CAS 可以快速驗證學生是否展開或還原正確。

▶ 範例：還原完全平方¶

In [9]:
factor(x^2 + 6*x + 9);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\left(x+3\right)^2\]

2.7 練習題¶

請使用 wxMaxima 完成以下練習：

  1. 展開下列多項式

$$ (x - 1)(x^2 + 3x + 5) $$

  1. 因式分解

$$ x^3 - 8 $$

  1. 化簡分式

$$ \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} $$

  1. 嘗試用 CAS 觀察下列公式是否正確：

$$ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 $$

提示：使用 expand((x + y)^3);

2.8 本章小結¶

你已經學會：

  • 使用 expand 展開多項式

  • 使用 ratsimp 合併同類項並化簡分式

  • 使用 factor 進行因式分解

  • 使用 partfrac 進行部分分式分解（選修）

  • 如何利用 CAS 檢查手算結果

下一章將進入「方程式」的世界，學習如何用 CAS 解線性方程、二次方程與聯立方程。

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