第 13 章　空間向量與立體幾何¶

本章將向你介紹三維向量（3D 向量）、空間中的距離、向量運算、平面與直線的關係。

雖然高中數學對空間座標內容較為精簡，但向量觀念在物理與微積分中十分重要，透過 CAS 可以更有效檢查與運算。

13.1 三維向量的表示¶

空間向量可表示為：

$$ \vec{v} = \langle a, b, c \rangle $$

wxMaxima 一樣使用列表表示：

In [1]:
v : [a, b, c];
w : [x, y, z];
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left[ a , b , c \right] \]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\left[ x , y , z \right] \]

13.2 三維向量的加法與數乘¶

▶ 加法¶

$$ \langle a,b,c \rangle + \langle x,y,z \rangle = \langle a+x, b+y, c+z \rangle $$

In [2]:
v:[1,2,3];
w:[3,0,-1];
v + w;
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ 1 , 2 , 3 \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ 3 , 0 , -1 \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ 4 , 2 , 2 \right] \]

▶ 數乘¶

In [3]:
3*v;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ 3 , 6 , 9 \right] \]

13.3 三維向量的長度¶

$$ |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $$

CAS：

In [4]:
v:[a,b,c];
sqrt(v[1]^2 + v[2]^2 + v[3]^2);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ a , b , c \right] \]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\sqrt{c^2+b^2+a^2}\]

或是

In [5]:
v:[a,b,c];
sqrt(v.v);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\left[ a , b , c \right] \]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\sqrt{c^2+b^2+a^2}\]

13.4 三維向量內積（dot product）¶

定義：

$$ \vec{v}\cdot\vec{w} = ax + by + cz $$

例：

In [6]:
u:[a,b,c];
w:[x,y,z];
u.w;
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}\left[ a , b , c \right] \]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\left[ x , y , z \right] \]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}c\,z+b\,y+a\,x\]

13.5 向量夾角¶

公式：

$$ \cos\theta = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|\,|\vec{w}|} $$

CAS：

In [8]:
v:[1,2,3];
w:[3,1,1];
v.w / (sqrt(v.v)*sqrt(w.w)), numer;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}\left[ 1 , 2 , 3 \right] \]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\left[ 3 , 1 , 1 \right] \]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}0.6446583712203042\]

13.6 三維向量外積（cross product）¶

外積結果是另一個向量，且與 v、w 垂直。

公式：

$$ \vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & b & c \\ x & y & z \end{vmatrix} $$

wxMaxima 計算外積，需先 load(vect)，再以 v~w 代表外積。

In [9]:
load(vect);
v:[1,2,3];
w:[3,1,1];
v~w;
express(v~w);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}\mbox{ /home/hcp2/maxima/share/maxima/5.47.0/share/vector/vect.mac }\]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}\left[ 1 , 2 , 3 \right] \]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{21}$}\left[ 3 , 1 , 1 \right] \]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{22}$}~\left(\left[ 1 , 2 , 3 \right] , \left[ 3 , 1 , 1 \right] \right)\]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{23}$}\left[ -1 , 8 , -5 \right] \]

13.7 空間中兩點距離¶

點 A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2) 的距離：

$$ AB = \sqrt{(x\_2-x\_1)^2 + (y\_2-y\_1)^2 + (z\_2-z\_1)^2} $$

CAS：

In [10]:
distance3(x1,y1,z1,x2,y2,z2) := sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2);
distance3(1,2,3,4,6,8);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{24}$}{\it distance}_{3}\left(x_{1} , y_{1} , z_{1} , x_{2} , y_{2} , z_{2}\right):=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^2+\left(y_{2}-y_{1}\right)^2+\left(z_{2}-z_{1}\right)^2}\]
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{25}$}5\,\sqrt{2}\]

13.8 空間直線的向量式¶

若直線通過點 $P\_0(x\_0,y\_0,z\_0)$，方向向量 $\vec{d} = (a,b,c)$，

則直線參數式為：

$$ \ell:\ \begin{cases} x = x\_0 + at \\ y = y\_0 + bt \\ z = z\_0 + ct \end{cases} $$

CAS 可用擴展符號表示：

In [11]:
x0:1; y0:2; z0:-3;
d:[-2,-1,3];
[x0 + d[1]*t, y0 + d[2]*t, z0 + d[3]*t];
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{26}$}1\]
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{27}$}2\]
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{28}$}-3\]
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{29}$}\left[ -2 , -1 , 3 \right] \]
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{30}$}\left[ 1-2\,t , 2-t , 3\,t-3 \right] \]

在3D 座標用參數式畫出這條直線，需先 load(draw)：

In [26]:
load(draw)$

set_draw_defaults(terminal = 'png)$

draw3d(
    parametric(1 - 2*t, 2 - t, 3*t - 3, t, -10, 10),
    xlabel = "x",
    ylabel = "y",
    zlabel = "z")$
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13.9 空間平面方程¶

若平面法向量為 $\vec{n} = (A,B,C)$，平面方程為：

$$ Ax + By + Cz + D = 0 $$

若給平面上一點 P(x0,y0,z0)：

$$ D = -(Ax\_0 + By\_0 + Cz\_0) $$

CAS：

In [27]:
A:1; B:2; C:-1;
x0:2; y0:1; z0:0;
D : -(A*x0 + B*y0 + C*z0);
A*x + B*y + C*z + D;
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{70}$}1\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{71}$}2\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{72}$}-1\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{73}$}2\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{74}$}1\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{75}$}0\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{76}$}-4\]
Out[27]:
\[\tag{${\it \%o}_{77}$}-z+2\,y+x-4\]

圖形：

In [36]:
plot3d(x+2*y-4, [x,-5,5], [y,-5,5],
     [gnuplot_pm3d,true])$
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13.10 直線與平面的位置關係¶

  1. 直線方向向量與平面法向量垂直 → 直線平行平面

  2. 若把直線參數式代入平面後可解出 t → 有交點

CAS：

In [37]:
solve(A*(x0+a*t) + B*(y0+b*t) + C*(z0+c*t) + D = 0, t);
Out[37]:
\[\tag{${\it \%o}_{89}$}\left[ t=0 \right] \]

13.11 練習題¶

  1. 求下列三維向量的長度：
    • $\langle 2, -1, 3 \rangle$
  2. 求內積：
    • $\langle 1,2,3 \rangle \cdot \langle 4,0,-1 \rangle$
  3. 求外積：
    • $v = \langle 1,2,3 \rangle$
    • $w = \langle 3,1,1 \rangle$
  4. 求兩點距離：

A(1,2,3)、B(4,6,8)

  1. 判斷直線是否與平面相交 直線：$x=1+2t,\ y=3-t,\ z=2+t$

平面：$x - y + z - 4 = 0$

13.12 本章小結¶

本章你已學會：

  • 三維向量的表示

  • 加法、數乘、長度、內積

  • 向量夾角、外積

  • 三維距離公式

  • 直線參數式、平面方程式（選修）

  • CAS 如何協助空間幾何的計算

下一章將進入統計與資料分析，使用 CAS 處理排列組合、機率與統計量！

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