第 12 章　向量與座標幾何¶

本章介紹高中數學中的向量與座標幾何核心概念：向量的表示、運算、內積、夾角、投影、與直線方程式。

wxMaxima 雖不是專為幾何設計，但能作為計算工具協助檢查代數推導。

12.1 向量的表示¶

平面向量可寫成：

$$ \vec{v} = \langle a, b \rangle $$

$$ \vec{w} = \langle c, d \rangle $$

wxMaxima 使用 list（列表）代表向量：

In [1]:
v : [a, b];
w : [c, d];
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}\left[ a , b \right] \]
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\left[ c , d \right] \]

12.2 向量加法與數乘¶

▶ 加法¶

$$ \vec{v} + \vec{w} = \langle a+c,\ b+d \rangle $$

CAS：

In [2]:
v : [1, 3];
w : [2, -1];
v + w;
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\left[ 1 , 3 \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left[ 2 , -1 \right] \]
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}\left[ 3 , 2 \right] \]

▶ 數乘¶

$$ k\vec{v} = \langle ka,\ kb \rangle $$

In [3]:
2 * v;
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\left[ 2 , 6 \right] \]

12.3 向量的長度（模）¶

向量長度：

$$ |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} $$

In [4]:
v : [a, b];
sqrt(v[1]^2 + v[2]^2);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}\left[ a , b \right] \]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}\sqrt{b^2+a^2}\]

12.4 內積（dot product）¶

向量內積公式：

$$ \vec{v}\cdot\vec{w} = a c + b d $$

wxMaxima 的內積是用英文的句點 . 代表乘號：

In [5]:
v : [1, 3];
w : [2, -1];
v.w;
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}\left[ 1 , 3 \right] \]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}\left[ 2 , -1 \right] \]
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}-1\]

向量的長度也可以視為把向量對自己內積，再開根號：

In [6]:
sqrt(v.v);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}\sqrt{10}\]

12.5 夾角公式¶

向量間夾角滿足：

$$ \cos \theta = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|} $$

CAS：

In [7]:
v:[1,2];
w:[3,1];
(v.w) / (sqrt(v.v)*sqrt(w.w)), numer;
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}\left[ 1 , 2 \right] \]
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}\left[ 3 , 1 \right] \]
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}0.7071067811865475\]

上面的 numer 這個參數，是要指定 wxMaxima 以小數表示結果：

(v) [1,2]
(w) [3,1]
(%o3)   0.7071067811865475

12.6 投影¶

向量 v 在 w 上的投影：

$$ \operatorname{proj}_w v = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{w}|^2} \vec{w} $$

CAS：

In [8]:
v:[1,2];
w:[3,1];
(v.w) / (w.w) * w;
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{15}$}\left[ 1 , 2 \right] \]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{16}$}\left[ 3 , 1 \right] \]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\left[ \frac{3}{2} , \frac{1}{2} \right] \]

計算 v 在 w 上的投影，結果仍是一個向量。

12.7 座標幾何：兩點距離¶

兩點 A(x1,y1)、B(x2,y2) 的距離：

$$ AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$

In [9]:
distance(x1,y1,x2,y2) := sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2);
distance(1,2,4,6);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}{\it distance}\left(x_{1} , y_{1} , x_{2} , y_{2}\right):=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^2+\left(y_{2}-y_{1}\right)^2}\]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{19}$}5\]

12.8 直線方程式：斜截式與兩點式¶

▶ 斜截式¶

$$ y = mx + b $$

▶ 兩點式¶

$$ y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x - x_1) $$

CAS 可用 solve 找斜率：

In [10]:
m : (y2 - y1)/(x2 - x1);
Out[10]:
\[\tag{${\it \%o}_{20}$}\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\]

12.9 直線交點¶

解聯立方程即可：

In [11]:
solve([y = 2*x + 1, y = -x + 5], [x,y]);
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{21}$}\left[ \left[ x=\frac{4}{3} , y=\frac{11}{3} \right] \right] \]

12.10 平行與垂直判斷¶

  • 平行：斜率相同

  • 垂直：$m_1 m_2 = -1$

用 is() 來判斷條件的真或假。若為真，傳回 true。若為假，傳回 false：

is( m1*m2 = -1 );

或直接代入數值計算。

12.11 練習題¶

  1. 計算向量加法與數乘：
    • $[2,3] + [-1,4]$
    • $3[1,-2]$
  2. 求長度：
    • $|\langle 3,4 \rangle|$
  3. 求夾角（用內積公式）：
    • $\langle 1,2 \rangle$ 與 $\langle 3,1 \rangle$
  4. 求兩點距離：
    • A(1,2)、B(4,8)
  5. 求直線交點：
    • $y = x + 2$
    • $y = -2x + 5$

12.12 本章小結¶

本章你已學會：

  • 向量用列表表示

  • 向量加法、數乘與長度

  • 內積、夾角、投影

  • 座標兩點距離

  • 直線方程式（兩點式、斜截式）

  • 直線交點、平行與垂直判斷

下一章將進入空間向量與立體幾何，延伸至 3D 的向量運算與空間關係。

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