第 11 章　不定積分與定積分¶

本章將介紹不定積分、定積分、面積計算，以及 wxMaxima 中 integrate 指令與數值積分方法。

高中數學中強調直觀與應用，積分可以想成是微分的相反，就是已經知道導函數，求回原函數。但有些函數的積分不一定有解析式。 本章也包含圖形理解與 CAS 協助檢查手算結果。

11.1 不定積分的概念¶

不定積分表示「求原函數」，記為：

$$ \int f(x)\,dx = F(x) + C $$

其中 $F'(x) = f(x)$。

11.2 使用 integrate 求不定積分¶

基本語法：

integrate(函數, 變數);

▶ 範例¶

In [1]:
integrate(2*x, x);
Out[1]:
\[\tag{${\it \%o}_{0}$}x^2\]

11.3 常見基本積分公式¶

wxMaxima 能自動處理：

  • $$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

  • $$\int \sin x dx = -\cos x + C$$

  • $$\int \cos x dx = \sin x + C$$

  • $$\int e^x dx = e^x + C$$

  • $$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

▶ 多項式範例¶

In [2]:
integrate(x^3 - 2*x + 1, x);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}\frac{x^4}{4}-x^2+x\]

11.4 代換積分（u-substitution）¶

CAS 不需要手動代換，但能用來檢查手算答案是否正確。

▶ 範例：手算常見例子¶

$$ \int (2x+3)(x^2+3x+1)^5 dx $$

CAS：

In [3]:
integrate((2*x+3)*(x^2+3*x+1)^5, x);
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\frac{\left(x^2+3\,x+1\right)^6}{6}\]

結果可與手算代換 $u = x^2 + 3x + 1$ 比對。

11.5 分部積分（進階）¶

語法與一般積分相同。

▶ 範例¶

$$ \int x e^x dx $$

In [4]:
integrate(x*exp(x), x);
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\left(x-1\right)\,e^{x}\]

11.6 定積分：曲線下的面積¶

定積分表示從 a 到 b 的累積量：

$$ \int_a^b f(x)\,dx $$

wxMaxima：

integrate(f(x), x, a, b);

▶ 範例¶

$$ \int_0^2 (x^2 - 1)\,dx $$

In [6]:
integrate(x^2 + 1, x, 0, 2);
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}\frac{14}{3}\]

積分的結果，可視為 x 從 0 到 2 之間，函數曲線下的面積等於 14/3。

In [10]:
plot2d([x^2 + 1], [x,0,2], [y,0,6],
     [gnuplot_postamble, "set size ratio 1; set zeroaxis;"])$
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11.7 面積的圖形理解¶

In [11]:
integrate(x^2 - 3*x + 1, x, 0, 3);
Out[11]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}-\left(\frac{3}{2}\right)\]

畫圖可以視覺化：

In [15]:
plot2d(x^2 - 3*x + 1, [x, 0, 3])$
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積分的結果是 x 軸上方的積分（正值），加上 x 軸下方的積分（負值）。

可以觀察：

  • 定積分可為負

  • 若要計算與 x 軸圍成的上方和下方面積的和，可分段處理。

11.8 數值積分：quad_qags¶

當積分無法得到解析式，可使用數值積分。

In [16]:
quad_qags(exp(-x^2), x, 0, 1);
Out[16]:
\[\tag{${\it \%o}_{17}$}\left[ 0.7468241328124271 , 8.291413475940727 \times 10^{-15} , 21 , 0 \right] \]

結果：

各項數字的意義：

0.7468241328124271 → 近似的積分值

8.291413475940727*10^-15 → 誤差估計

21 → 被積分函數評估的次數

0 → 狀態碼（0 = 成功）

11.9 絕對值積分的處理¶

若：

$$ \int |x-1| dx $$

需分段：

$$ |x-1| = \begin{cases} 1-x, & x<1 \\ x-1, & x\ge 1 \end{cases} $$

In [17]:
integrate(abs(x-1), x, -5, 5);
Out[17]:
\[\tag{${\it \%o}_{18}$}26\]

圖形為左右兩個三角形的面積的和。

In [19]:
plot2d([abs(x-1)], [x,-5,5])$
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wxMaxima 雖然能直接給答案，但學習時保持分段觀念更好。

11.10 學習時注意事項與 CAS 檢查¶

  1. 手算時忘記加常數 C

  2. 積分後未檢查導數是否能回到原函數

  3. 代換積分誤差可用 CAS 驗證

  4. 定積分負值與「面積」混淆

11.11 練習題¶

  1. 計算不定積分：
    • $\int (3x^2 - 4) dx$
    • $\int \sin(2x) dx$
    • $\int \frac{1}{x^2} dx$
  2. 計算定積分：
    • $\int_1^3 (x + 2) dx$
    • $\int_0^\pi \sin x dx$
  3. 對下列函數，用 CAS 檢查手算的代換過程是否正確：
    • $\int (x^2+1)^4 (2x) dx$
  4. 曲線下方面積：
    • $y = x^2 - 4$ 與 x 軸所夾的區域面積
  5. 數值積分：
    • $\int_0^1 e^{-x^2} dx$（使用 quad_qags）

11.12 本章小結¶

你已學會：

  • 使用 integrate 求不定積分與定積分

  • 用 CAS 稽核代換積分與分部積分

  • 理解定積分的圖形意義

  • 使用數值積分處理無閉式問題

  • 利用 CAS 檢查手算積分是否正確

下一章將介紹向量與幾何，進入空間觀念與圖形分析的世界。

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