第 10 章　導數與微分¶

本章將介紹導數的概念、微分法則、在 wxMaxima 中使用 diff 指令求導，以及應用到切線、速度、極值與遞增遞減分析。

這是高中數學微積分單元的核心章節，CAS 能協助學生快速檢查與視覺化理解。

10.1 導數的直觀意義¶

導數描述「瞬間變化率」或「切線斜率」，也就是在這個點做微分。

例如：在物理上，瞬間速度就是位移對時間的微分。瞬間加速度就是速度對時間的微分。

▶ 直觀例子¶

若：

$$ f(x) = x^2 $$

那 $x=1$ 附近的變化率，可用割線斜率近似：

$$ m = \frac{f(1+h) - f(1)}{h} $$

讓 $h$ 越來越小，即得到導數。

對一個函數 $f(x)$，若在某點 $x=a$ 附近定義良好，導數 $f'(a)$ 定義為：

$$ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$

若此極限存在，則稱函數在 $x=a$ 可微分（differentiable），而極限的值就是該點的導數。

導數可以表示為：

$$ f'(x) = {{d \, f(x)} \over {d x}} $$

10.2 使用 diff 求導數¶

基本語法：

diff(函數, 變數);

▶ 範例¶

In [2]:
diff(x^3 - 3*x + 2, x);
Out[2]:
\[\tag{${\it \%o}_{1}$}3\,x^2-3\]

10.3 多次微分（高階導數）¶

若函數 $f(x)$ 在某點可微，且其導數 $f'(x)$ 也可微，則二階導數定義為：

$$ f''(x)=\frac{d}{dx} \left( f'(x) \right) = \frac{d^2 f(x)}{dx^2} $$

也就是說： 二階導數 = 一階導數的變化率。

語法：

In [3]:
diff(f(x), x, 2);   /* 二階導數 */
diff(f(x), x, 3);   /* 三階導數 */
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{2}$}\frac{d^2}{d\,x^2}\,f\left(x\right)\]
Out[3]:
\[\tag{${\it \%o}_{3}$}\frac{d^3}{d\,x^3}\,f\left(x\right)\]

▶ 範例：二階導數¶

就是對函數連續做 2 次微分。

In [4]:
diff(x^4, x, 1);   /* 一階導數 */
diff(x^4, x, 2);   /* 二階導數 */
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{4}$}4\,x^3\]
Out[4]:
\[\tag{${\it \%o}_{5}$}12\,x^2\]

10.4 微分法則¶

wxMaxima 會自動處理：

  • 乘法法則：$(fg)' = f'g + fg'$

  • 商法則：$(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$

  • 鏈鎖法則：$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$

▶ 範例：鏈鎖法則¶

In [5]:
diff(sin(3*x^2 + 1), x);
Out[5]:
\[\tag{${\it \%o}_{6}$}6\,x\,\cos \left(3\,x^2+1\right)\]

10.5 定義導函數並求值¶

方法一：define()¶

在 wxMaxima 裡，可以用 define(f(x), 表達式)定義函數。define() 會先計算右邊的表達式，然後再建立函數。

In [6]:
f(x) := x^3 - 3*x^2 + 1;
define(f1(x), diff(f(x), x));   /* 定義導函數 */
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{7}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x^2+1\]
Out[6]:
\[\tag{${\it \%o}_{8}$}f_{1}\left(x\right):=3\,x^2-6\,x\]

計算 $x=2$ 時導函數的值：

In [7]:
f1(2);
Out[7]:
\[\tag{${\it \%o}_{9}$}0\]

方法二：ev()¶

另一種求值的表示方法，可以用 ev()

In [8]:
f(x) := x^3 - 3*x^2 + 1;
f1 : diff(f(x),x);    /* 代表把計算出來的值，指派給 f1 */
ev(f1, x = 2);
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{10}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x^2+1\]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{11}$}3\,x^2-6\,x\]
Out[8]:
\[\tag{${\it \%o}_{12}$}0\]

常犯的語法錯誤¶

In [9]:
f(x) := x^3 - 3*x^2 + 1;
f1(x) := diff(f(x), x);
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{13}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x^2+1\]
Out[9]:
\[\tag{${\it \%o}_{14}$}f_{1}\left(x\right):={\it diff}\left(f\left(x\right) , x\right)\]

此時，若是輸入

In [10]:
f1(2);

diff: second argument must be a variable; found 2


#0: f1(x=2) (BBA4B961838D41DDF8DDAC3020AB0EB0-2352247508.mac line 0)

 -- an error. To debug this try: debugmode(true);

























會得到錯誤訊息，因為 wxMaxima 把它視為: diff(f(2), 2)。


方法三： ``(...)¶
雙引號  ``(...) 會強制 Maxima 立即對該表達式求值，而不是等到函數被定義之後。


















In [11]:






f(x) := x^3 - 3*x^2 + 1;
f1(x) := ''(diff(f(x), x));
f1(2);





















Out[11]:



\[\tag{${\it \%o}_{16}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x^2+1\]







Out[11]:



\[\tag{${\it \%o}_{17}$}f_{1}\left(x\right):=3\,x^2-6\,x\]







Out[11]:



\[\tag{${\it \%o}_{18}$}0\]

























10.6 切線方程式¶
若函數 $f(x)$ 在 $x=a$ 可微分，其切線斜率：


$$
m = f'(a)
$$


切線方程式：


$$
y = f(a) + f'(a)(x - a)
$$


▶ 求在 $x = a$ 的切線方程式¶


















In [12]:






f(x) := x^2 - 3*x + 2;
f1 : diff(f(x), x);
a: 1;
b: f(a);    /* x = a 這點的 f(x) 值 */
m: ev(f1, x = a);    /* x = a 這點的導數，即切線斜率 */
tangent(x) := b + m*(x - a);    /* 自訂切線函數  */
tangent(x);





















Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{19}$}f\left(x\right):=x^2-3\,x+2\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{20}$}2\,x-3\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{21}$}1\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{22}$}0\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{23}$}-1\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{24}$}{\it tangent}\left(x\right):=b+m\,\left(x-a\right)\]







Out[12]:



\[\tag{${\it \%o}_{25}$}1-x\]

























10.7 遞增遞減與極值¶
    

  • 若一階導函數 $f'(x) > 0$，f 遞增
    

    • 

  • 若一階導函數 $f'(x) < 0$，f 遞減
    

    • 

  • 若 $f'(a) = 0$，可能 $x = a$是極值點
    

    • 



▶ 找極值：解 f’(x)=0¶


















In [13]:






f(x) := x^3 - 3*x^2 + 2;
solve(diff(f(x), x) = 0, x);





















Out[13]:



\[\tag{${\it \%o}_{26}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x^2+2\]







Out[13]:



\[\tag{${\it \%o}_{27}$}\left[ x=0 , x=2 \right] \]























由 $f(x)$ 的圖形，可以看出在 $x = 0$ 有局部極大值，在 $x = 2$ 有局部極小值。




















In [18]:






plot2d([f(x)], [x,-5,5])$
























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10.8 二階導數與曲率：凹向上／凹向下¶
    

  • 若二階導數 $f''(x) > 0$：凹向上（杯狀）
    

    • 

  • 若二階導數 $f''(x) < 0$：凹向下（蓋狀）
    

    • 



▶ 範例¶


















In [19]:






diff(x^3 - 3*x, x, 2);





















Out[19]:



\[\tag{${\it \%o}_{36}$}6\,x\]























二階導數為 $6x$。


把原式和二階導數畫在一起。可以看到當二階導數為正值時，原函數凹向上；當二階導數為正值時，原函數凹向下。


















In [22]:






plot2d([x^3 - 3*x, 6*x], [x,-5,5])$
























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10.9 繪圖觀察導數與原函數的關係¶
範例：


















In [24]:






f(x) := x^3 - 3*x;
f1(x) := diff(f(x), x);
plot2d([f(x), f1(x)], [x, -4, 4])$





















Out[24]:



\[\tag{${\it \%o}_{43}$}f\left(x\right):=x^3-3\,x\]







Out[24]:



\[\tag{${\it \%o}_{44}$}f_{1}\left(x\right):={\it diff}\left(f\left(x\right) , x\right)\]










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觀察：


    

  • $f$ 遞增處 → $f'$ > 0
    

    • 

  • $f$ 遞減處 → $f'$ < 0
    

    • 

  • $f$ 的極值 → $f'$ = 0
    

    • 





10.10 應用題：速度與加速度¶
若自由落體運動位置對時間的關係為：


$$
s(t) = {{g\,t^2}\over{2}}
$$


其中 g 為重力加速度 $9.8 \, m/s^2$ 則：


    

  • 速度：$v(t) = s'(t)$
    

    • 

  • 加速度：$a(t) = v'(t) = s''(t)$
    

    • 



CAS：


















In [25]:






g : 9.8;
s(t) := 1/2 * 9.8 * t^2;
v(t) := diff(s(t), t);
a(t) := diff(s(t), t, 2);





















Out[25]:



\[\tag{${\it \%o}_{46}$}9.8\]







Out[25]:



\[\tag{${\it \%o}_{47}$}s\left(t\right):=\frac{9.8\,t^2}{2}\]







Out[25]:



\[\tag{${\it \%o}_{48}$}v\left(t\right):={\it diff}\left(s\left(t\right) , t\right)\]







Out[25]:



\[\tag{${\it \%o}_{49}$}a\left(t\right):={\it diff}\left(s\left(t\right) , t , 2\right)\]























即：


$$
s(t) = {{g\,t^2}\over{2}}
$$


$$
v(t) = g\,t
$$


$$
a(t) = g
$$


















In [27]:






plot2d([s(t), v(t), a(t)], [t,0,5])$
























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可以觀察到，等加速度運動，位移對時間是一元二次函數，速度以直線遞增，加速度則為一固定值。




10.11 練習題¶
    

  1. 求下列函數的導數：
      

    • $x^2 + 3x + 1$
      

      • 

    • $5x^3 - 4x + 7$
      

      • 

    • $\sqrt{x}$
      

      • 

    

    2. 

  2. 求切線方程式：
    3. 



$$
y = x^2 + 1,\quad x = 3
$$


    

  1. 找出下列函數的極值點：
    2. 



$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2
$$


    

  1. 判斷下列函數的凹向上／凹向下區間：
    2. 



$$
f(x) = x^4 - x^2
$$


    

  1. 速度與加速度：求：$v(t), a(t)$ $$
s(t) = 2t^3 - 4t
$$
    2. 





10.12 本章小結¶
本章你已學會：


    

  • 使用 diff 求導
    

    • 

  • 多次微分與微分法則
    

    • 

  • 用 CAS 求切線、極值、遞增遞減
    

    • 

  • 二階導數與凹凸性
    

    • 

  • 繪圖觀察 f 與 f’ 的關係
    

    • 

  • 物理應用：速度與加速度
    

    • 



下一章將介紹積分：不定積分、定積分與面積計算。













    
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